pi carré sur 6

Soit \(\left(u_{n}\right)\)  la suite définie pour tout \(n\in \mathbb N^*\)  par \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\) .

1. Calculer `u_1`  et `u_2` .

2. a. Démontrer que la suite   \(\left(u_{n}\right)\)  est croissante.
    b. Démontrer par récurrence que, \(\forall n\in \mathbb N^*\) , \(u_{n}\leqslant2-\dfrac{1}{n}\) .
    c. En déduire que la suite est convergente vers un réel \(\ell\) .

Remarque

On peut démontrer que  \(\ell=\dfrac{\pi^2}{6}\) . On dit alors que la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant1}\dfrac{1}{k^2}\)  est convergente et on écrit \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6}\) .